题目

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已知实数 $a,b,c$． $(\qquad)$

A: 若 $|a^2+b+c|+|a+b^2+c|\leqslant 1$，则 $a^2+b^2+c^2<100$

B: 若 $|a^2+b+c|+|a^2+b-c|\leqslant 1$，则 $a^2+b^2+c^2<100$

C: 若 $|a+b+c^2|+|a+b-c^2|\leqslant 1$，则 $a^2+b^2+c^2<100$

D: 若 $|a^2+b+c|+|a+b^2-c|\leqslant 1$，则 $a^2+b^2+c^2<100$

【难度】

【出处】

无

【标注】

知识点
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代数变形
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代数式的形
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整形
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绝对值的整理

【答案】

【解析】

对于选项A，不等式 $|a^2+b+c|+|a+b^2+c|\leqslant 1$ 等价于\[\begin{cases}\left|\left(a^2+b+c\right)+\left(a+b^2+c\right)\right|\leqslant 1,\\ \left|\left(a^2+b+c\right)-\left(a+b^2+c\right)\right|\leqslant 1,\end{cases}\]也即\[\begin{cases}\left|\left(a+\dfrac 12\right)^2+\left(b+\dfrac 12\right)^2+2c-\dfrac 12\right|\leqslant 1,\\ \left|\left(a-\dfrac 12\right)^2-\left(b-\dfrac 12\right)^2\right|\leqslant 1,\end{cases}\]因此 $a^2+b^2+c^2$ 无上界．
对于选项B，不等式 $|a^2+b+c|+|a^2+b-c|\leqslant 1$ 等价于\[\begin{cases}\left|\left(a^2+b+c\right)+\left(a^2+b-c\right)\right|\leqslant 1,\\ \left|\left(a^2+b+c\right)-\left(a^2+b-c\right)\right|\leqslant 1,\end{cases}\]也即\[\begin{cases}\left|2a^2+2b\right|\leqslant 1,\\ \left|2c\right|\leqslant 1,\end{cases}\]因此 $a^2+b^2+c^2$ 无上界．
对于选项C，不等式 $|a+b+c^2|+|a+b-c^2|\leqslant 1$ 等价于\[\begin{cases}\left|\left(a+b+c^2\right)+\left(a+b-c^2\right)\right|\leqslant 1,\\ \left|\left(a+b+c^2\right)-\left(a+b-c^2\right)\right|\leqslant 1,\end{cases}\]也即\[\begin{cases}\left|2a+2b\right|\leqslant 1,\\ \left|2c^2\right|\leqslant 1,\end{cases}\]因此 $a^2+b^2+c^2$ 无上界．
对于选项D，不等式 $|a^2+b+c|+|a+b^2-c|\leqslant 1$ 等价于\[\begin{cases}\left|\left(a^2+b+c\right)+\left(a+b^2-c\right)\right|\leqslant 1,\\ \left|\left(a^2+b+c\right)-\left(a+b^2-c\right)\right|\leqslant 1,\end{cases}\]也即\[\begin{cases}\left|\left(a+\dfrac 12\right)^2+\left(b+\dfrac 12\right)^2-\dfrac 12\right|\leqslant 1,\\ \left|\left(a-\dfrac 12\right)^2-\left(b-\dfrac 12\right)^2+2c\right|\leqslant 1,\end{cases}\]因此有\[\left(a+\dfrac12\right)^2,\left(b+\dfrac 12\right)^2\leqslant \dfrac 32,\]于是 $|a|,|b|$ 都有上界 $2$，进而\[|2c|\leqslant 1+\left(2+\dfrac 12\right)^2,\]所以 $|c|$ 有上界 $4$，进而 $a^2+b^2+c^2<100$．

题目答案解析

对于选项A，不等式 $|a^2+b+c|+|a+b^2+c|\leqslant 1$ 等价于\[\begin{cases}\left|\left(a^2+b+c\right)+\left(a+b^2+c\right)\right|\leqslant 1,\\ \left|\left(a^2+b+c\right)-\left(a+b^2+c\right)\right|\leqslant 1,\end{cases}\]也即\[\begin{cases}\left|\left(a+\dfrac 12\right)^2+\left(b+\dfrac 12\right)^2+2c-\dfrac 12\right|\leqslant 1,\\ \left|\left(a-\dfrac 12\right)^2-\left(b-\dfrac 12\right)^2\right|\leqslant 1,\end{cases}\]因此 $a^2+b^2+c^2$ 无上界．<br/>对于选项B，不等式 $|a^2+b+c|+|a^2+b-c|\leqslant 1$ 等价于\[\begin{cases}\left|\left(a^2+b+c\right)+\left(a^2+b-c\right)\right|\leqslant 1,\\ \left|\left(a^2+b+c\right)-\left(a^2+b-c\right)\right|\leqslant 1,\end{cases}\]也即\[\begin{cases}\left|2a^2+2b\right|\leqslant 1,\\ \left|2c\right|\leqslant 1,\end{cases}\]因此 $a^2+b^2+c^2$ 无上界．<br/>对于选项C，不等式 $|a+b+c^2|+|a+b-c^2|\leqslant 1$ 等价于\[\begin{cases}\left|\left(a+b+c^2\right)+\left(a+b-c^2\right)\right|\leqslant 1,\\ \left|\left(a+b+c^2\right)-\left(a+b-c^2\right)\right|\leqslant 1,\end{cases}\]也即\[\begin{cases}\left|2a+2b\right|\leqslant 1,\\ \left|2c^2\right|\leqslant 1,\end{cases}\]因此 $a^2+b^2+c^2$ 无上界．<br/>对于选项D，不等式 $|a^2+b+c|+|a+b^2-c|\leqslant 1$ 等价于\[\begin{cases}\left|\left(a^2+b+c\right)+\left(a+b^2-c\right)\right|\leqslant 1,\\ \left|\left(a^2+b+c\right)-\left(a+b^2-c\right)\right|\leqslant 1,\end{cases}\]也即\[\begin{cases}\left|\left(a+\dfrac 12\right)^2+\left(b+\dfrac 12\right)^2-\dfrac 12\right|\leqslant 1,\\ \left|\left(a-\dfrac 12\right)^2-\left(b-\dfrac 12\right)^2+2c\right|\leqslant 1,\end{cases}\]因此 有\[\left(a+\dfrac12\right)^2,\left(b+\dfrac 12\right)^2\leqslant \dfrac 32,\]于是 $|a|,|b|$ 都有上界 $2$，进而\[|2c|\leqslant 1+\left(2+\dfrac 12\right)^2,\]所以 $|c|$ 有上界 $4$，进而 $a^2+b^2+c^2<100$．