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函数 $f(x)=\sqrt{x-5}+\sqrt{24-3x}$ 的最大值为 \((\qquad)\)
A: $\sqrt 3$
B: $3$
C: $2\sqrt 3$
D: $3\sqrt 3$
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    柯西不等式
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    整形
    >
    根式的整理
【答案】
C
【解析】
函数 $f(x)$ 的定义域为 $[5,8]$．由柯西不等式，可得\[\begin{split}\sqrt{x-5}+\sqrt{24-3x}&=1\cdot \sqrt{x-5}+\sqrt 3\cdot \sqrt{8-x}\\
&\leqslant \sqrt{1+3}\cdot \sqrt{(x-5)+(8-x)}\\
&=2\sqrt 3,\end{split}\]等号当\[\sqrt{x-5}=\dfrac{\sqrt{8-x}}{\sqrt 3},\]即 $x=\dfrac {23}4$ 时取得．因此所求的最大值为 $2\sqrt 3$．
题目 答案 解析 备注
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