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函数 $f(x)=\sqrt{x-3}+\sqrt{12-3x}$ 的值域是 \((\qquad)\)
A: $[1,\sqrt 2]$
B: $\left[1,\dfrac 32\right]$
C: $[1,\sqrt 3]$
D: $[1,2]$
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的最值
【答案】
D
【解析】
函数 $f(x)$ 的定义域为 $[3,4]$，其导函数\[f'(x)=\dfrac{\sqrt{4-x}-\sqrt{3x-9}}{2\sqrt{4-x}\cdot \sqrt{x-3}},\]于是函数 $f(x)$ 在 $\left[3,\dfrac{13}4\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{13}4,4\right]$ 上单调递减，在 $x=\dfrac{13}4$ 上取得极大值，亦为最大值．因此函数 $f(x)$ 的最大值为 $f\left(\dfrac{13}4\right)=2$，最小值为\[\min\{f(3),f(4)\}=\min\left\{\sqrt 3,1\right\}=1,\]从而函数 $f(x)$ 的值域为 $[1,2]$．
题目 答案 解析 备注
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