已知三角形 $ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$，有以下 $4$ 个命题：
① 以 $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 为边长的三角形一定存在；
② 以 $a^2,b^2,c^2$ 为边长的三角形一定存在；
③ 以 $\dfrac{a+b}{2},\dfrac{b+c}{2},\dfrac{c+a}{2}$ 为边长的三角形一定存在；
④ 以 $\left|a-b\right|+1,\left|b-c\right|+1,\left|c-a\right|+1$ 为边长的三角形一定存在，
其中正确命题的个数为 \((\qquad)\)
① 以 $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 为边长的三角形一定存在；
② 以 $a^2,b^2,c^2$ 为边长的三角形一定存在；
③ 以 $\dfrac{a+b}{2},\dfrac{b+c}{2},\dfrac{c+a}{2}$ 为边长的三角形一定存在；
④ 以 $\left|a-b\right|+1,\left|b-c\right|+1,\left|c-a\right|+1$ 为边长的三角形一定存在，
其中正确命题的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学博雅计划试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
不妨假设 $0<a \leqslant b \leqslant c, a+b>c$．
① 正确．$\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt c\geqslant \sqrt{a+b}-\sqrt c>0$．
② 错误．$a=2,b=3,c=4$ 即为反例．
③ 正确．$\dfrac{a+b}2+\dfrac{c+a}2-\dfrac{b+c}2=a>0$．
④ 正确．$(|a-b|+1)+(|b-c|+1)-(|c-a|+1)>|(a-b)+(b-c)|-|c-a|=0$．
① 正确．$\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt c\geqslant \sqrt{a+b}-\sqrt c>0$．
② 错误．$a=2,b=3,c=4$ 即为反例．
③ 正确．$\dfrac{a+b}2+\dfrac{c+a}2-\dfrac{b+c}2=a>0$．
④ 正确．$(|a-b|+1)+(|b-c|+1)-(|c-a|+1)>|(a-b)+(b-c)|-|c-a|=0$．
题目
答案
解析
备注
