已知直线 $l_1:y=-\dfrac 12x$，$l_2:y=\dfrac 12x$，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上一点．过点 $P$ 作 $l_1$ 的平行线，交 $l_2$ 于点 $M$；过点 $P$ 作 $l_2$ 的平行线，交 $l_1$ 于点 $N$．若 $|MN|$ 为定值，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 $P$ 点坐标为 $\left(x_0,y_0\right)$，可得\[
M\left(\dfrac{1}{2}x_0+y_0,\dfrac{1}{4}x_0+\dfrac{1}{2}y_0\right), N\left(\dfrac{1}{2}x_0-y_0,-\dfrac{1}{4}x_0+\dfrac{1}{2}y_0\right),
\]故\[
|MN|=\sqrt{\dfrac{1}{4}x_0^2+4y_0^2}
\]为定值，所以\[
\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{4}{\dfrac{1}{4}}=16,
\]故 $a=4b$．
M\left(\dfrac{1}{2}x_0+y_0,\dfrac{1}{4}x_0+\dfrac{1}{2}y_0\right), N\left(\dfrac{1}{2}x_0-y_0,-\dfrac{1}{4}x_0+\dfrac{1}{2}y_0\right),
\]故\[
|MN|=\sqrt{\dfrac{1}{4}x_0^2+4y_0^2}
\]为定值，所以\[
\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{4}{\dfrac{1}{4}}=16,
\]故 $a=4b$．
题目
答案
解析
备注
