有 $N$ 项的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足下列两个条件：
① 对任意 $i,j (1\leqslant i<j\leqslant N)$，有 $a_i<a_j$；
② 对任意 $i,j,k (1\leqslant i<j<k\leqslant N)$，$a_i+a_j$，$a_j+a_k$ 和 $a_k+a_i$ 中至少有一个是 $\left\{a_n\right\}$ 中的项，
则 $N$ 的最大值为 \((\qquad)\)
① 对任意 $i,j (1\leqslant i<j\leqslant N)$，有 $a_i<a_j$；
② 对任意 $i,j,k (1\leqslant i<j<k\leqslant N)$，$a_i+a_j$，$a_j+a_k$ 和 $a_k+a_i$ 中至少有一个是 $\left\{a_n\right\}$ 中的项，
则 $N$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 中负数的个数大于等于 $4$，考虑 $a_1,a_2,a_3$ 这三个数，有\[
a_2+a_3=a_1,
\]考虑 $a_1,a_2,a_4$ 这三个数，有\[
a_2+a_4=a_1,
\]所以 $a_3=a_4$，矛盾．所以数列 $\left\{a_n\right\}$ 中至多有 $3$ 个负数．同理可知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中至多有 $3$ 个正数．
取 $a_n=n-4 (n=1,2,\cdots,7)$，满足题意．
所以 $N$ 的最大值为 $7$．
a_2+a_3=a_1,
\]考虑 $a_1,a_2,a_4$ 这三个数，有\[
a_2+a_4=a_1,
\]所以 $a_3=a_4$，矛盾．所以数列 $\left\{a_n\right\}$ 中至多有 $3$ 个负数．同理可知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中至多有 $3$ 个正数．
取 $a_n=n-4 (n=1,2,\cdots,7)$，满足题意．
所以 $N$ 的最大值为 $7$．
题目
答案
解析
备注
