由于\[\dfrac 1x<\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1z\leqslant \dfrac{3}{x},\]故 $3\leqslant x \leqslant 6$．
情形一若 $x=3$，则 $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{6}$，即 $(y-6)(z-6)=36$，解得\[\begin{split} &(x,y,z)=(3,7,42), (x,y,z)=(3,8,24), (x,y,z)=(3,9,18),\\&(x,y,z)=(3,10,15), (x,y,z)=(3,12,12). \end{split} \]情形二若 $x=4$，则 $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{4}$，即 $(y-4)(z-4)=16$，解得\[(x,y,z)=(4,5,20), (x,y,z)=(4,6,12), (x,y,z)=(4,8,8). \]情形三若 $x=5$，则 $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{10}$，即 $(3y-10)(3z-10)=100$，解得\[(x,y,z)=(5,5,10). \]情形四若 $x=6$，则 $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{3}$，即 $(y-3)(z-3)=9$，解得\[(x,y,z)=(6,6,6). \]