设椭圆的长短半轴分别为 $a$ 和 $b$．从椭圆的中心 $O$ 依次引 $n(n\geqslant 3)$ 条射线交椭圆于 $A_1,A_2,\cdots,A_n$，且相邻两条射线的夹角都等于 $\dfrac {2\pi}{n}$，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{(OA_k)^{-2}}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
设 $A_1(r_1\cos\theta_1,r_1\sin\theta_1)$，则有$$\dfrac {r_1^2\cos^2\theta_1}{a^2}+\dfrac {r_1^2\sin^2\theta_1}{b^2}=1,$$从而有$$(OA_1)^{-2}=\dfrac 1{r_1^2}=\dfrac {\cos^2\theta_1}{a^2}+\dfrac {\sin^2\theta_1}{b^2}=\dfrac 12\left(\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}\right)+\dfrac 12\left(\dfrac 1{a^2}-\dfrac 1{b^2}\right)\cos{2\theta_1}.$$由题意知可设$$A_k\left(r_k\cos{\theta_k},r_k\sin{\theta_k}\right), \theta_k=\theta_1+\dfrac {2(k-1)}{n}\pi,$$且有$$(OA_k)^{-2}=\dfrac 1{r_k^2}=\dfrac {\cos^2\theta_k}{a^2}+\dfrac {\sin^2\theta_k}{b^2}=\dfrac 12\left(\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}\right)+\dfrac 12\left(\dfrac 1{a^2}-\dfrac 1{b^2}\right)\cos{2\theta_k}.$$而$$\sum_{k=1}^n\cos2\theta_k=\sum_{k=1}^n\cos\left(2\theta_1+\dfrac {4(k-1)}{n}\pi\right)=0,$$所以$$\sum\limits_{k=1}^{n}{(OA_k)^{-2}}=\dfrac n2\left(\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}\right).$$
题目
答案
解析
备注
