设 $f(x),g(x),h(x)$ 是定义域为 $\mathbb{R} $ 的三个函数，对于命题：
① 若 $f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$ 均为严格单调的增函数，则 $f(x),g(x),h(x)$ 中至少有一个为严格单调的增函数；
② 若 $f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，则 $f(x),g(x),h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，
下列判断正确的是 \((\qquad)\)
① 若 $f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$ 均为严格单调的增函数，则 $f(x),g(x),h(x)$ 中至少有一个为严格单调的增函数；
② 若 $f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，则 $f(x),g(x),h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，
下列判断正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年高考上海卷（文）
【标注】
【答案】
D
【解析】
① 为假命题，我们可以如下构造反例．将定义域 $\mathbb R$ 分为三段，函数 $f(x)$ 在第一段上是水平的射线，函数 $g(x)$ 在第二段上是水平的线段，函数 $h(x)$ 在第三段上是水平的射线，而在其余的部分，三个函数均为斜率为 $1$ 的线段或射线．那么在每一段上，$f(x)+g(x),g(x)+h(x),h(x)+f(x)$ 均为斜率为 $1$ 或 $2$ 的线段或射线，如图．
② 为真命题．令$$F(x)=f(x)+g(x), G(x)=f(x)+h(x), H(x)=g(x)+h(x),$$则$$f(x)=\dfrac{F(x)+G(x)-H(x)}{2}$$是以 $T$ 为周期的函数，同理 $g(x),h(x)$ 也是以 $T$ 为周期的函数．
综上所述，选D．
② 为真命题．令$$F(x)=f(x)+g(x), G(x)=f(x)+h(x), H(x)=g(x)+h(x),$$则$$f(x)=\dfrac{F(x)+G(x)-H(x)}{2}$$是以 $T$ 为周期的函数，同理 $g(x),h(x)$ 也是以 $T$ 为周期的函数．综上所述，选D．
题目
答案
解析
备注
