设直角梯形的高为 $2$，其两条对角线交点为 $P$，以它的两底中点的连线为直径的圆与此梯形的直腰相交于点 $E$ 和 $F$，则 $P$ 到 $E$ 和 $F$ 这两点的距离之和为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分
【标注】
【答案】
B
【解析】
如图，直角梯形 $ABCD$ 中，$AB \parallel CD$，$\angle BAD=\angle ADC=90^\circ$，$AD=2$．$M,N$ 分别为线段 $AB,CD$ 的中点，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $P$．以 $MN$ 为直径的圆与线段 $AD$ 交于 $E,F$ 两点，与线段 $CD$ 交于 $N,G$ 两点，连接 $MG$．延长 $FP$，交圆于点 $K$，连接 $MK$．连接 $ME$ 与 $NF$．
因为$$\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{S_{\triangle PME}}{S_{\triangle PNE}}=\dfrac{EM\cdot\sin{\angle MEP}}{EN\cdot\sin{\angle NEP}},$$而$$\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{AM}{DN}=\dfrac{EM\cdot\sin{\angle MEA}}{EN\cdot\sin{\angle NED}},$$所以 $\dfrac{\sin{\angle MEP}}{\sin{\angle NEP}}=\dfrac{\sin{\angle MEA}}{\sin{\angle NED}}$．又因为 $\angle MEP+\angle NEP=90^\circ$，$\angle MEA+\angle NED=90^\circ$，所以$$\angle MEP=\angle MEA, \angle NEP=\angle NED,$$同理，$$\angle NFP=\angle NFD, \angle MFP=\angle MFA,$$故 $\overparen{ME}=\overparen{MK}$，进而有 $ME=MK$，$PE=PK$．又因为 $\overparen{KF}=\overparen{MG}$，所以$$PE+PF=PK+PF=FK=MG=AD=2.$$
因为$$\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{S_{\triangle PME}}{S_{\triangle PNE}}=\dfrac{EM\cdot\sin{\angle MEP}}{EN\cdot\sin{\angle NEP}},$$而$$\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{AM}{DN}=\dfrac{EM\cdot\sin{\angle MEA}}{EN\cdot\sin{\angle NED}},$$所以 $\dfrac{\sin{\angle MEP}}{\sin{\angle NEP}}=\dfrac{\sin{\angle MEA}}{\sin{\angle NED}}$．又因为 $\angle MEP+\angle NEP=90^\circ$，$\angle MEA+\angle NED=90^\circ$，所以$$\angle MEP=\angle MEA, \angle NEP=\angle NED,$$同理，$$\angle NFP=\angle NFD, \angle MFP=\angle MFA,$$故 $\overparen{ME}=\overparen{MK}$，进而有 $ME=MK$，$PE=PK$．又因为 $\overparen{KF}=\overparen{MG}$，所以$$PE+PF=PK+PF=FK=MG=AD=2.$$
题目
答案
解析
备注
