设函数 $f(x)=\ln x$，$g(x)=ax+\dfrac bx$，它们的图象在 $x$ 轴上的公共点处有公切线，则当 $x>1$ 时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 的大小关系是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
$f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象在 $x$ 轴上有唯一公共点 $(1,0)$，所以 $g(1)=0$，即$$a+b=0.$$因为$$f'(x)=\dfrac 1x , g'(x)=a-\dfrac{b}{x^2},$$由题意$$f'(1)=g'(1)=1,$$即$$a-b=1,$$所以$$a=\dfrac 12 , b=-\dfrac 12.$$令$$F(x)=f(x)-g(x)=\ln x-\left(\dfrac 12 x-\dfrac 1{2x}\right),$$则$$F'(x)=\dfrac 1x -\dfrac 12 -\dfrac 1{2x^2}=-\dfrac 12\left(\dfrac 1x-1\right)^2\leqslant 0,$$所以 $F(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 内单调递减．
又因为 $F(1)=0$，所以当 $x>1$ 时，$F(x)<0$，即 $f(x)<g(x)$．
又因为 $F(1)=0$，所以当 $x>1$ 时，$F(x)<0$，即 $f(x)<g(x)$．
题目
答案
解析
备注
