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已知集合 $M=\left \{x\mid 5-|2x-3| \in {\mathbb N^*}\right\}$，则 $ M$ 的所有非空真子集的个数是 \((\qquad)\)
A: $254$
B: $255$
C: $510$
D: $511$
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    集合与映射
    >
    集合与集合的关系
【答案】
C
【解析】
因为 $5-|2x-3|\in\mathbb N^*$，所以$$|2x-3|=0,1,2,3,4,$$故$$M=\left\{-\dfrac 12,0,\dfrac 12,1,\dfrac 32,2,\dfrac 52,3,\dfrac 72\right\},$$$M$ 中共有 $9$ 个元素，因此 $M$ 的所有非空真子集的个数为 $2^9-2=510$．
题目 答案 解析 备注
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