设函数 $f(x)=\dfrac 1x$，$g(x)=ax^2+bx(a,b\in\mathbb R,a\neq 0)$，若 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 的图象有且仅有两个不同的公共点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则下列判断正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
{\color{cyan}\bf 不分离\quad} 将右边化为常数（往往取 $0$）．注意利用一侧为 $0$ 的特点对左边进行调整．对于本题，可以将问题转化为函数$$h(x)=ax^3+bx^2-1$$有两个零点，由于 $h(x)$ 的导函数$$h'(x)=x(3ax+2b),$$由 $h(x)$ 有且仅有两个零点知 $h(x)$ 的极值点中必有一个为零点，于是函数的两个极值点分别对应点 $\left(0,-1\right)$ 和 $\left(-\dfrac{2b}{3a},0\right)$，按 $a$ 与 $0$ 的关系分别画出对应的函数图象．由三次函数的切割线性质可得结果．
{\color{cyan}\bf 全分离\quad} 让两边分别只含参数和变量．对于本题，考虑方程$$a=\dfrac{1}{x^3}-\dfrac bx,\text{ 即 }h(t)=t^3-bt,$$其中 $t=\dfrac 1x$，并记右侧函数为 $h(t)$，因此画出对应的函数图象可得结果．
{\color{cyan}\bf 半分离\quad} 将一边化为含参直线，另一边化为不含参的函数．此时问题转化为直线与曲线的位置关系问题，因此往往对曲线的凹凸性\footnote{在高考范围内，只有基本初等函数和二次曲线的凹凸性可以直接使用}有要求．对于本题，考虑方程$$ax+b=\dfrac{1}{x^2},$$于是直线 $y=ax+b$ 与幂函数 $y=x^{-2}$ 的图象有两个公共点．由幂函数图象的对称性可得结果．
{\color{cyan}\bf 韦达定理\quad} 根据题意，设方程 $ax^3+bx^2-1=0$ 的实根分别为 $x_1,x_2$，且不妨设 $x_1$ 为二重根，由三次方程的韦达定理{\eqref{theo：三次方程的韦达定理}}可得$$\begin{cases} 2x_1+x_2=-b,\\ 2x_1x_2+x_1^2=0,\\ ax_1^2x_2=1,\end{cases} $$于是 $x_1=-2x_2$，进而 $x_1+x_2=-x_2$，$x_1x_2=-2x_2^2$，而 $x_2$ 与 $a$ 同号，即得．
{\color{cyan}\bf 全分离\quad} 让两边分别只含参数和变量．对于本题，考虑方程$$a=\dfrac{1}{x^3}-\dfrac bx,\text{ 即 }h(t)=t^3-bt,$$其中 $t=\dfrac 1x$，并记右侧函数为 $h(t)$，因此画出对应的函数图象可得结果．
{\color{cyan}\bf 半分离\quad} 将一边化为含参直线，另一边化为不含参的函数．此时问题转化为直线与曲线的位置关系问题，因此往往对曲线的凹凸性\footnote{在高考范围内，只有基本初等函数和二次曲线的凹凸性可以直接使用}有要求．对于本题，考虑方程$$ax+b=\dfrac{1}{x^2},$$于是直线 $y=ax+b$ 与幂函数 $y=x^{-2}$ 的图象有两个公共点．由幂函数图象的对称性可得结果．
{\color{cyan}\bf 韦达定理\quad} 根据题意，设方程 $ax^3+bx^2-1=0$ 的实根分别为 $x_1,x_2$，且不妨设 $x_1$ 为二重根，由三次方程的韦达定理{\eqref{theo：三次方程的韦达定理}}可得$$\begin{cases} 2x_1+x_2=-b,\\ 2x_1x_2+x_1^2=0,\\ ax_1^2x_2=1,\end{cases} $$于是 $x_1=-2x_2$，进而 $x_1+x_2=-x_2$，$x_1x_2=-2x_2^2$，而 $x_2$ 与 $a$ 同号，即得．
题目
答案
解析
备注
