已知点 $A\left(0,2\right),B\left(2,0\right)$．若点 $C$ 在函数 $y = {x^2}$ 的图象上，则使得 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$ 的点 $C$ 的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考北京卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意，\[\begin{split}{S_{\triangle ABC}} &= \dfrac{1}{2} \times \left| {AB} \right| \times h \\&= \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt 2 \times h = 2,\end{split}\]解得 $h = \sqrt 2 $，即点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离为 $\sqrt 2 $．
问题转化为与直线 $AB$ 距离为 $\sqrt 2 $ 的直线与抛物线交点的个数．
由两平行线间的距离公式，得与直线 $AB$ 距离为 $\sqrt 2 $ 的直线方程为\[y = -x 或 y = - x + 4,\]分别将直线与抛物线方程联立，解得这两直线与抛物线分别有 $2$ 个交点，因此，共有 $4$ 个不同的 $C$ 点满足条件．
问题转化为与直线 $AB$ 距离为 $\sqrt 2 $ 的直线与抛物线交点的个数．
由两平行线间的距离公式，得与直线 $AB$ 距离为 $\sqrt 2 $ 的直线方程为\[y = -x 或 y = - x + 4,\]分别将直线与抛物线方程联立，解得这两直线与抛物线分别有 $2$ 个交点，因此，共有 $4$ 个不同的 $C$ 点满足条件．
题目
答案
解析
备注
