已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 ${a_1} \ne 0$，其前 $n$ 项的和为 ${S_n}$，且 ${S_{n + 1}} = 2{S_n} + {a_1}$，则 $ \lim \limits_{n \to \infty } \dfrac{a_n}{S_n} = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年高考四川卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
由 $ S_{n+1}=2S_n+a_1 $，且 $ S_{n+2}=2S_{n+1}+a_1 $，作差得 $ a_{n+2}=2a_{n+1} $．又 $ S_2=2S_1+a_1 $，即 $ a_2+a_1=2a_1+a_1 $，即 $a_2=2a_1 $．故 $ {a_n} $ 是公比为 $ 2 $ 的等比数列，且 $ S_n=\dfrac{ a_1\left(1-2^n\right)}{1-2} =-a_1\left(1-2^n\right) $，则\[\lim \limits_{ n \to \infty }\dfrac{ a_n}{S_n} = \lim \limits_{ n \to \infty }\dfrac{ 2^{n-1}}{2^n-1} = \lim \limits_{ n \to \infty }\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{ {1}}{1-\dfrac{1}{2^n}}\right) =\dfrac{1}{2}. \]
题目
答案
解析
备注
