设函数 $g\left(x\right) = {x^2} - 2\left(x \in {\mathbb{R}}\right)$，$ f\left(x\right) =\begin{cases}
{g\left(x\right) + x + 4,x < g\left(x\right)}, \\
{g\left(x\right) - x,x \geqslant g\left(x\right)},\end{cases} $ 则 $f\left(x\right)$ 的值域是 \((\qquad)\)
{g\left(x\right) + x + 4,x < g\left(x\right)}, \\
{g\left(x\right) - x,x \geqslant g\left(x\right)},\end{cases} $ 则 $f\left(x\right)$ 的值域是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年高考天津卷（文）
【标注】
【答案】
D
【解析】
$ f\left(x\right)$ 的解析式为\[f\left(x\right) = \begin{cases}
{x^2} + x + 2 ,x < {x^2} - 2 ,\\
{x^2} - x - 2 ,x \geqslant {x^2} - 2 ,\\
\end{cases}\]配方得\[f\left(x\right) = \begin{cases}{\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2} + \dfrac{7}{4} ,x < - 1 或 x > 2 ,\\
{\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2} - \dfrac{9}{4} ,- 1 \leqslant x \leqslant 2 ,\\
\end{cases}\]当 $x < - 1 或 x > 2$ 时\[f\left(x\right) = {\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2} + \dfrac{7}{4} > 2;\]当 $ - 1 \leqslant x \leqslant 2$ 时，\[f\left(x\right) = {\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2} - \dfrac{9}{4} \in \left[ - \dfrac{9}{4},0\right].\]
{x^2} + x + 2 ,x < {x^2} - 2 ,\\
{x^2} - x - 2 ,x \geqslant {x^2} - 2 ,\\
\end{cases}\]配方得\[f\left(x\right) = \begin{cases}{\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2} + \dfrac{7}{4} ,x < - 1 或 x > 2 ,\\
{\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2} - \dfrac{9}{4} ,- 1 \leqslant x \leqslant 2 ,\\
\end{cases}\]当 $x < - 1 或 x > 2$ 时\[f\left(x\right) = {\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2} + \dfrac{7}{4} > 2;\]当 $ - 1 \leqslant x \leqslant 2$ 时，\[f\left(x\right) = {\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2} - \dfrac{9}{4} \in \left[ - \dfrac{9}{4},0\right].\]
题目
答案
解析
备注
