已知在半径为 $ 2 $ 的球面上有 $ A $、$ B $、$ C $、$ D $ 四点，若 $ AB=CD=2 $，则四面体 $ ABCD $ 的体积的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
过 $ CD $ 作平面 $ PCD $，使 $ AB\perp $ 平面 $ PCD $，且交 $ AB $ 于 $ P $ 点．
设 $ P $ 到 $ CD $ 的距离为 $ h $，则四面体 $ ABCD $ 的体积为\[V = \dfrac{1}{3}{S_{\triangle PCD}} \cdot AB = \dfrac{1}{3} \cdot \left( {\dfrac{1}{2}CD \cdot h} \right) \cdot AB = \dfrac{1}{6} \cdot 2h \cdot 2 = \dfrac{2}{3}h.\]当球的直径通过 $ AB $ 与 $ CD $ 的中点时 $h $ 最大，且最大为 $2\sqrt 3 $，故四面体 $ ABCD $ 体积的最大值为 $\dfrac{4\sqrt 3 }{3}$．
设 $ P $ 到 $ CD $ 的距离为 $ h $，则四面体 $ ABCD $ 的体积为\[V = \dfrac{1}{3}{S_{\triangle PCD}} \cdot AB = \dfrac{1}{3} \cdot \left( {\dfrac{1}{2}CD \cdot h} \right) \cdot AB = \dfrac{1}{6} \cdot 2h \cdot 2 = \dfrac{2}{3}h.\]当球的直径通过 $ AB $ 与 $ CD $ 的中点时 $h $ 最大，且最大为 $2\sqrt 3 $，故四面体 $ ABCD $ 体积的最大值为 $\dfrac{4\sqrt 3 }{3}$．
题目
答案
解析
备注
