设 $\left\{ {a_n}\right\} $ 是等比数列，则" ${a_1} < {a_2} < {a_3}$ "是"数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 是递增数列"的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年高考山东卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
等比数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 为递增数列，得\[q > 0 且 {a_{n + 1}} - {a_n} = {a_n}\left( {q - 1} \right) = {a_1}\left( {q - 1} \right){q^{n - 1}} > 0,\]即充要条件为\[{\begin{cases}
{a_1} > 0, \\
q > 1 ,\\
\end{cases}} 或 {\begin{cases}{a_1} < 0 ,\\
0 < q < 1. \\
\end{cases}}\]又由 ${a_1} < {a_2} < {a_3}$，即 ${a_1} < {a_1}q < {a_1}{q^2}$，可推出\[{\begin{cases}{a_1} > 0, \\
q > 1, \\
\end{cases}} 或 {\begin{cases}{a_1} < 0, \\
0 < q < 1. \\
\end{cases}}\]故二者互为充要条件．
{a_1} > 0, \\
q > 1 ,\\
\end{cases}} 或 {\begin{cases}{a_1} < 0 ,\\
0 < q < 1. \\
\end{cases}}\]又由 ${a_1} < {a_2} < {a_3}$，即 ${a_1} < {a_1}q < {a_1}{q^2}$，可推出\[{\begin{cases}{a_1} > 0, \\
q > 1, \\
\end{cases}} 或 {\begin{cases}{a_1} < 0, \\
0 < q < 1. \\
\end{cases}}\]故二者互为充要条件．
题目
答案
解析
备注
