在三棱锥 $S - ABC$ 中，底面 $ABC $ 为边长等于 $ 2 $ 的等边三角形，$SA$ 垂直于底面 $ABC$，$ SA =3 $，那么直线 $AB$ 与平面 $SBC$ 所成角的正弦值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年高考大纲全国II卷（文）
【标注】
【答案】
D
【解析】
过 $ A $ 作 $ AE $ 垂直于 $ BC $ 交 $ BC $ 于 $ E $，连接 $ SE $，过 $ A $ 作 $ AF $ 垂直于 $ SE $ 交 $ SE $ 于 $ F $，连 $ BF $．
$\because$ 三角形 $ ABC $ 为正三角形，
$\therefore$ $ E $ 为 $ BC $ 的中点．
$\because$ $ BC\perp AE $，$ SA\perp BC $，
$\therefore$ $ BC\perp 平面 SAE $．
$\because$ $ BC\perp AF $，$ AF\perp SE $，
$\therefore$ $ AF\perp 平面 SBC $，
则 $ \angle ABF $ 为直线 $ AB $ 与 平面 $ SBC $ 所成角．
经计算 $AE = \sqrt 3 $，$SE= 2\sqrt 3 $，$AF= \dfrac{3}{2}$，
$\therefore $ $\sin \angle ABF = \dfrac {3}{4}$．
$\because$ 三角形 $ ABC $ 为正三角形，$\therefore$ $ E $ 为 $ BC $ 的中点．
$\because$ $ BC\perp AE $，$ SA\perp BC $，
$\therefore$ $ BC\perp 平面 SAE $．
$\because$ $ BC\perp AF $，$ AF\perp SE $，
$\therefore$ $ AF\perp 平面 SBC $，
则 $ \angle ABF $ 为直线 $ AB $ 与 平面 $ SBC $ 所成角．
经计算 $AE = \sqrt 3 $，$SE= 2\sqrt 3 $，$AF= \dfrac{3}{2}$，
$\therefore $ $\sin \angle ABF = \dfrac {3}{4}$．
题目
答案
解析
备注
