如图，$ \odot {O_1}$ 和 $ \odot {O_2}$ 外切于点 $C$，$ \odot {O_1},\odot {O_2}$ 又都和 $ \odot O$ 内切，切点分别为 $A,B$．设 $\angle AOB=\alpha$，$\angle ACB=\beta$，则下列结论不正确的是 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2011年清华大学等七校联考自主招生试题
【标注】
【答案】
D
【解析】
如图，连接 $OC,{O_1}{O_2}$，
设 $\angle OAC = \angle {O_1}CA = {\theta _1} , \angle {O_2}CB = \angle OBC = {\theta _2}$，所以$$\alpha = \pi - 2{\theta _1} - 2{\theta _2} , \beta = \alpha + {\theta _1} + {\theta _2} = \pi - {\theta _1} - {\theta _2},$$于是 $\pi - \alpha = 2\left( {\pi - \beta } \right)$，即 $2\beta = \alpha + \pi$．
设 $\angle OAC = \angle {O_1}CA = {\theta _1} , \angle {O_2}CB = \angle OBC = {\theta _2}$，所以$$\alpha = \pi - 2{\theta _1} - 2{\theta _2} , \beta = \alpha + {\theta _1} + {\theta _2} = \pi - {\theta _1} - {\theta _2},$$于是 $\pi - \alpha = 2\left( {\pi - \beta } \right)$，即 $2\beta = \alpha + \pi$．
题目
答案
解析
备注
