设双曲线 ${C_1}:\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = k\left( {a > 2 , k > 0} \right)$，椭圆 ${C_2}:\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$，若 ${C_2}$ 的短轴长与 ${C_1}$ 的实轴长的比值等于 ${C_2}$ 的离心率，则 ${C_1}$ 在 ${C_2}$ 的一条准线上截得线段的长为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年清华大学等五校合作自主选拔通用基础测试数学试题
【标注】
【答案】
D
【解析】
由已知条件有$$\dfrac{2}{{\sqrt k a}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - 4} }}{a},$$整理得$$ {a^2} = 4 + \dfrac{4}{k}.$$将 ${C_2}$ 的一条准线 $x = \dfrac{{{a^2}}}{c}$（其中 $c = \sqrt {{a^2} - 4} = \dfrac{2}{{\sqrt k }}$）代入双曲线 $C_1$，可得$$\dfrac{{{a^2}}}{{{c^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = k,$$可以解出 $y = \pm 2$，所以截得线段长为 $4$．
题目
答案
解析
备注
