设 $P$ 为椭圆 $C:\dfrac{{{x^2}}}{6} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1$ 上的一点，${F_1},{F_2}$ 是椭圆 $C$ 的左、右焦点，若 $\left| {P{F_1}} \right|:\left| {P{F_2}} \right| = 5:1$，则 $\triangle P{F_1}{F_2}$ 的面积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
由题得知$$\left| {P{F_1}} \right| = 5\left| {P{F_2}} \right| , \left| {P{F_1}} \right| + \left| {P{F_2}} \right| = 2\sqrt 6 ,$$于是$$\left| {P{F_1}} \right| = \dfrac{{10}}{{\sqrt 6 }},\left| {P{F_2}} \right| = \dfrac{2}{{\sqrt 6 }},$$所以由余弦定理，$$\cos \angle {F_1}P{F_2} = \dfrac{1}{5},$$从而 $\sin \angle {F_1}P{F_2} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{5}$，故$$\begin{split}{S_{\triangle P{F_1}{F_2}}} &= \dfrac{1}{2}\sin \angle {F_1}P{F_2} \cdot \left| {P{F_1}} \right| \cdot \left| {P{F_2}} \right|\\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{2\sqrt 6 }}{5} \cdot \dfrac{{20}}{6}\\&= \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}.\end{split}$$
题目
答案
解析
备注
