在等差数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中，前 $n$ 项和 ${S_n} = \dfrac{n}{m}$，前 $m$ 项和 ${S_m} = \dfrac{m}{n}$（$m \ne n$），则 ${S_{n + m}}$ 的值 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年西北工业大学自主招生测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
设数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，则\[\begin{split}S_{n+m}&=S_n+S_m+mnd
\\
&=\dfrac nm+\dfrac mn+mn\cdot \dfrac{a_{\frac n2}-a_{\frac m2}}{\dfrac n2-\dfrac m2}\\
&=\dfrac nm+\dfrac mn+mn\cdot \dfrac{\dfrac 1m-\dfrac 1n}{\dfrac 12(n-m)}\\
&=\dfrac nm+\dfrac mn+2\\
&> 4.\end{split}\]
\\
&=\dfrac nm+\dfrac mn+mn\cdot \dfrac{a_{\frac n2}-a_{\frac m2}}{\dfrac n2-\dfrac m2}\\
&=\dfrac nm+\dfrac mn+mn\cdot \dfrac{\dfrac 1m-\dfrac 1n}{\dfrac 12(n-m)}\\
&=\dfrac nm+\dfrac mn+2\\
&> 4.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
