设 $\left\{{{a_n}}\right\}$ 是正数数列，其前 $n$ 项和为 ${S_n}$，满足：对一切 $n\in{{\mathbb{Z}}^+}$，${a_n}$ 和 $2$ 的等差中项等于 ${S_n}$ 和 $2$ 的等比中项，则 $\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\dfrac{{{a_n}}}{n}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2006年复旦大学自主选拔录取申请资格测试（B卷）
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，$$\dfrac{{{a_n}+2}}{2}=\sqrt{2{S_n}} , 8{S_n}={\left({{a_n}+2}\right)^2},$$所以$$8{a_n}={\left({{a_n}+2}\right)^2}-{\left({{a_{n-1}}+2}\right)^2},$$化简得$${a_n}-{a_{n-1}}=4,n=2,3,4,\cdots$$于是 $\left\{{{a_n}}\right\}$ 为公差为 $4$ 的等差数列，故 $\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\dfrac{{{a_n}}}{n}=4$．
题目
答案
解析
备注
