过点 $P\left( {1, 3} \right)$ 的动直线交圆 $C:{x^2} + {y^2} = 4$ 于 $A,B$ 两点，分别过 $A,B$ 作圆 $C$ 的切线，如果两切线相交于点 $Q$，那么点 $Q$ 的轨迹为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2006年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
B
【解析】
显然当动直线与 $x$ 轴垂直时不与圆相交，因此动直线的斜率一定存在．
直线 $AB$ 的方程即为点 $Q$ 对应的切点弦方程，于是$${x_0}x + {y_0}y = 4 , y = k\left( {x - 1} \right) + 3$$对比，可得$$ - \dfrac{{{x_0}}}{{{y_0}}} = k , \dfrac{4}{{{y_0}}} = 3 - k,$$消参，得 $x + 3y = 4$ 即为所求．
显然这条直线与圆相交，所以点 $Q$ 的轨迹为直线在圆外的部分．
直线 $AB$ 的方程即为点 $Q$ 对应的切点弦方程，于是$${x_0}x + {y_0}y = 4 , y = k\left( {x - 1} \right) + 3$$对比，可得$$ - \dfrac{{{x_0}}}{{{y_0}}} = k , \dfrac{4}{{{y_0}}} = 3 - k,$$消参，得 $x + 3y = 4$ 即为所求．
显然这条直线与圆相交，所以点 $Q$ 的轨迹为直线在圆外的部分．
题目
答案
解析
备注
