等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，并且对任意正整数 $n$ 有 $S_{n+2}=4S_n+3$ 成立，则 $a_2$ 的值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
设公比为 $q$．
由于$$\begin{split}qS_n&=q(a_1+a_2+\cdots+a_n)\\ &=a_2+a_3+\cdots +a_{n+1},\end{split}$$所以 $S_{n+1}=qS_n+a_1$，进而$$\begin{split}S_{n+2}&=q(qS_n+a_1)+a_1\\ &=q^2S_n+a_1(q+1).\end{split}$$与已知条件比较可知$$q^2=4 , a_1(q+1)=3,$$所以$$q=2 , a_1=1$$或$$q=-2 , a_1=-3.$$相应地 $a_2=2$ 或 $a_2=6$．
由于$$\begin{split}qS_n&=q(a_1+a_2+\cdots+a_n)\\ &=a_2+a_3+\cdots +a_{n+1},\end{split}$$所以 $S_{n+1}=qS_n+a_1$，进而$$\begin{split}S_{n+2}&=q(qS_n+a_1)+a_1\\ &=q^2S_n+a_1(q+1).\end{split}$$与已知条件比较可知$$q^2=4 , a_1(q+1)=3,$$所以$$q=2 , a_1=1$$或$$q=-2 , a_1=-3.$$相应地 $a_2=2$ 或 $a_2=6$．
题目
答案
解析
备注
