设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 上的单调函数，且对任意 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f[f(x)-\log_{2}x]=6$．若 $x_{0}$ 是方程 $f(x)-f'(x)=4$ 的一个解，且 $x_{0}\in(a-1,a)(a\in\mathbb N^{*})$，则 $a$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
由 $f(x)$ 的单调性和 $f\left[f(x)-\log_{2}x\right]=6$ 知$$f(x)-\log_{2}x=c(\text{常数}),$$代回得$$\begin{cases}f(c)=6,\\f(c)-\log_{2}c=c,\\ \log_{2}c=6-c,\end{cases}$$解得 $c=4$，因此$$f(x)=\log_{2}x+4.$$由\[f(x)-f'(x)=\log_{2}x+4-\dfrac{1}{x\ln 2}=4,\]得\[\log_{2}x_{0}=\dfrac{1}{x_{0}\ln 2}=\dfrac{\log_{2}{\rm e}}{x_{0}}, x_{0}^{x_{0}}={\rm e}, 1<x_{0}<2.\]
题目
答案
解析
备注
