一个球的半径为 $6$,则该球内接正三棱锥的体积的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
设棱锥的高与一条侧棱的夹角为 $\theta$,侧棱长为 $l$,高为 $h$,则$$l=12\cos \theta , h=12\cos ^2\theta,$$底面正三角形的外接圆半径$$R=12\sin \theta \cos \theta,$$底面边长为$$a=12\sqrt {3}\sin \theta \cos \theta,$$从而\[\begin{split} V&=432\sqrt {3}\sin^2 \theta \cos^4 \theta\\ &\leqslant 216\sqrt {3}\left(\dfrac { \cos ^2\theta + \cos^2 \theta+2\sin ^2\theta}{3}\right)^3\\&= 64\sqrt 3,\end{split}\]当 $\tan ^2 \theta =\dfrac 12$ 时等号成立.
题目
答案
解析
备注