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在正四面体 $ABCD$ 中，$M,N$ 分别是 $BC$ 和 $DA$ 的中点，则直线 $AM$ 和 $BN$ 所成角的余弦值是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac13$
B: $\dfrac12$
C: $\dfrac23$
D: $\dfrac34$
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
不妨设正四面体棱长为 $1$，则\[\begin{split}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=1,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DB}=\dfrac12,\\ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac12,\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}=0.\end{split}\]因为$$\overrightarrow{AM}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right) , \overrightarrow{NB}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DB}\right),$$所以$$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{NB}=\dfrac14\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DB}\right)=\dfrac12.$$而$$\left|\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{NB}\right|=\dfrac{\sqrt3}{2},$$所以 $AM$ 与 $BN$ 所成角的余弦值是$$\dfrac{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{NB}}{\left|\overrightarrow{AM}\right|\left|\overrightarrow{NB}\right|}=\dfrac23.$$
题目 答案 解析 备注
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