已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=n \cdot p^n$（$n \in \mathbb N^*,0<p<1$），下面说法正确的是 \((\qquad)\)
① 当 $p=\dfrac 12$ 时，数列 $\{a_n\}$ 为严格递减的数列；
② 当 $\dfrac 12<p<1$ 时，数列 $\{a_n\}$ 不一定有最大项；
③ 当 $0<p<\dfrac 12$ 时，数列 $\{a_n\}$ 为递减数列；
④ 当 $\dfrac {p}{1-p}$ 为正整数时，数列 $\{a_n\}$ 必有两项相等的最大项．
① 当 $p=\dfrac 12$ 时，数列 $\{a_n\}$ 为严格递减的数列；
② 当 $\dfrac 12<p<1$ 时，数列 $\{a_n\}$ 不一定有最大项；
③ 当 $0<p<\dfrac 12$ 时，数列 $\{a_n\}$ 为递减数列；
④ 当 $\dfrac {p}{1-p}$ 为正整数时，数列 $\{a_n\}$ 必有两项相等的最大项．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
①：因为 $a_1=\dfrac 12=a_2$，所以 ① 错误．
②：一定有最大项．
因为 $\dfrac 12<p<1$，所以$$\dfrac {a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\dfrac 1n\right)p\in \left(\dfrac {n+1}{2n},1+\dfrac 1n\right),$$而当 $n\geqslant 2$ 时，有$$\dfrac {n+1}{2n}<1 , 1+\dfrac 1n>1,$$所以存在 $n_0\in \mathbb N^*$，使得$$a_1<a_2<\cdots\leqslant a_{n_0} , a_{n_0}\geqslant a_{n_0+1}>\cdots\cdots$$因此数列一定存在最大项．
③：已知$$\dfrac {a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\dfrac 1n\right)p,$$而 $0<p<\dfrac 12$，所以 $\dfrac {a_{n+1}}{a_n}<1$，故数列 $\{a_n\}$ 为递减数列．
④：设 $\dfrac {p}{1-p}=m$，则$$p=\dfrac {m}{m+1},$$其中 $m\in \mathbb N^*$．
在 ② 中取 $n_0=m$，则$$\dfrac {a_{n_0+1}}{a_{n_0}}=1,$$所以 $a_{n_0}$ 与 $a_{n_0}+1$ 均为数列的最大项．
②：一定有最大项．
因为 $\dfrac 12<p<1$，所以$$\dfrac {a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\dfrac 1n\right)p\in \left(\dfrac {n+1}{2n},1+\dfrac 1n\right),$$而当 $n\geqslant 2$ 时，有$$\dfrac {n+1}{2n}<1 , 1+\dfrac 1n>1,$$所以存在 $n_0\in \mathbb N^*$，使得$$a_1<a_2<\cdots\leqslant a_{n_0} , a_{n_0}\geqslant a_{n_0+1}>\cdots\cdots$$因此数列一定存在最大项．
③：已知$$\dfrac {a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\dfrac 1n\right)p,$$而 $0<p<\dfrac 12$，所以 $\dfrac {a_{n+1}}{a_n}<1$，故数列 $\{a_n\}$ 为递减数列．
④：设 $\dfrac {p}{1-p}=m$，则$$p=\dfrac {m}{m+1},$$其中 $m\in \mathbb N^*$．
在 ② 中取 $n_0=m$，则$$\dfrac {a_{n_0+1}}{a_{n_0}}=1,$$所以 $a_{n_0}$ 与 $a_{n_0}+1$ 均为数列的最大项．
题目
答案
解析
备注
