已知函数 $f(x)=\cos (a\sin x)-\sin (b\cos x)$ 无零点，则 $a^2+b^2$ 的取值范围为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
由已知得$$2k\pi+b\cos x=\dfrac {\pi}{2}-a\sin x,\\(2k+1)\pi-b\cos x=\dfrac {\pi}{2}-a\sin x , (k\in \mathbb Z)$$无解，即方程$$\sqrt {a^2+b^2}\sin (x+\varphi)=\dfrac {\pi}{2}+2k\pi,$$或$$\sqrt {a^2+b^2}\sin (x-\varphi)=\dfrac {\pi}{2}-(2k+1)\pi,$$无解，其中 $\sin \varphi=\dfrac {b}{\sqrt {a^2+b^2}}$，$\cos \varphi=\dfrac {a}{\sqrt {a^2+b^2}}$．
故$$\sqrt{a^2+b^2}<\left|\dfrac {\pi}{2}+2k\pi\right| \lor \sqrt{a^2+b^2}<\left(\left|\dfrac {\pi}{2}-(2k+1)\pi\right|\right),$$从而可得 $a^2+b^2$ 的取值范围为 $\left[0,\dfrac {\pi^2}{4}\right)$．
故$$\sqrt{a^2+b^2}<\left|\dfrac {\pi}{2}+2k\pi\right| \lor \sqrt{a^2+b^2}<\left(\left|\dfrac {\pi}{2}-(2k+1)\pi\right|\right),$$从而可得 $a^2+b^2$ 的取值范围为 $\left[0,\dfrac {\pi^2}{4}\right)$．
题目
答案
解析
备注
