若 $\{a_n\}$ 是等差数列，首项 $a_1>0$，$a_{2003}+a_{2004}>0$，$a_{2003} a_{2004}<0$，则使前 $n$ 项和 $S_n>0$ 成立的最大自然数 $n$ 是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
因为$$a_1>0 , a_{2003}+a_{2004}>0 , a_{2003}\cdot a_{2004}<0,$$所以在该数列中，从第一项到第 $2003$ 项是正数，且从第 $2004$ 项开始为负数．
显然所有的正项的和 $S_n$ 得最大值，即当 $n=2003$ 时，$S_n$ 取得最大值．
又因为 $S_n$ 是关于 $n$ 的缺常数项的二次函数，且开口向下，所以第 $2003$ 项离对称轴最近，故其对称轴介于 $2003$ 到 $2003.5$ 之间．
因二次函数的图象与 $x$ 轴的一个交点是 $(0,0)$，则设另一个交点 $(x,0)$，$x$ 应介于 $4006$ 到 $4007$ 之间（如图），所以使 $S_n>0$ 的最大自然数是 $4006$．
显然所有的正项的和 $S_n$ 得最大值，即当 $n=2003$ 时，$S_n$ 取得最大值．
又因为 $S_n$ 是关于 $n$ 的缺常数项的二次函数，且开口向下，所以第 $2003$ 项离对称轴最近，故其对称轴介于 $2003$ 到 $2003.5$ 之间．
因二次函数的图象与 $x$ 轴的一个交点是 $(0,0)$，则设另一个交点 $(x,0)$，$x$ 应介于 $4006$ 到 $4007$ 之间（如图），所以使 $S_n>0$ 的最大自然数是 $4006$．
题目
答案
解析
备注
