将一些半径为 $1$ 的小圆放入半径为 $11$ 的大圆内，使每个小圆都与大圆相内切，且这些小圆无重叠部分．则最多可以放入的小圆的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
如图，设大圆圆心为 $O$，两个小圆 $A$ 和 $B$ 相切．
在 $\triangle{AOB}$ 中，$$AB=2 , AO=BO=10,$$所以$$\sin{\dfrac{\angle{AOB}}{2}}=\dfrac 1{10} , \tan{\dfrac{\angle{AOB}}{2}}=\dfrac 1{\sqrt{99}}.$$又因为 $x\in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$$\sin x <x<\tan x.$$如果其中放入 $n$ 个小圆，则其圆心角和为$$n\cdot \angle{AOB}=2n\cdot \dfrac{\angle{AOB}}{2}.$$若 $2n\tan{\dfrac{\angle{AOB}}{2}}\leqslant 2\pi$，即$$n\leqslant \dfrac{\pi}{\tan{\dfrac{\angle{AOB}}{2}}}=\sqrt{99}\approx 31.1,$$则 $2n\cdot \dfrac{\angle{AOB}}{2}<2\pi$，可知能放入 $31$ 个小圆．
若 $2n\sin{\dfrac{\angle{AOB}}{2}}\geqslant 2\pi$，即$$n\geqslant \dfrac{\pi}{\sin{\dfrac{\angle{AOB}}{2}}}=10\pi \approx 31.4,$$则$$2n\cdot \dfrac{\angle{AOB}}{2}>2\pi.$$可知放入 $32$ 个圆必有两个圆重叠．
因此最多能放入小圆的个数为 $31$．
在 $\triangle{AOB}$ 中，$$AB=2 , AO=BO=10,$$所以$$\sin{\dfrac{\angle{AOB}}{2}}=\dfrac 1{10} , \tan{\dfrac{\angle{AOB}}{2}}=\dfrac 1{\sqrt{99}}.$$又因为 $x\in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$$\sin x <x<\tan x.$$如果其中放入 $n$ 个小圆，则其圆心角和为$$n\cdot \angle{AOB}=2n\cdot \dfrac{\angle{AOB}}{2}.$$若 $2n\tan{\dfrac{\angle{AOB}}{2}}\leqslant 2\pi$，即$$n\leqslant \dfrac{\pi}{\tan{\dfrac{\angle{AOB}}{2}}}=\sqrt{99}\approx 31.1,$$则 $2n\cdot \dfrac{\angle{AOB}}{2}<2\pi$，可知能放入 $31$ 个小圆．若 $2n\sin{\dfrac{\angle{AOB}}{2}}\geqslant 2\pi$，即$$n\geqslant \dfrac{\pi}{\sin{\dfrac{\angle{AOB}}{2}}}=10\pi \approx 31.4,$$则$$2n\cdot \dfrac{\angle{AOB}}{2}>2\pi.$$可知放入 $32$ 个圆必有两个圆重叠．
因此最多能放入小圆的个数为 $31$．
题目
答案
解析
备注
