已知 $I$ 是 $\triangle{ABC}$ 的内心，$AC=2$，$BC=3$，$AB=4$，若 $\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow{AC}$，则 $x+y$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
在 $\triangle{ABC}$ 中，$I$ 为内心，连结 $AI$ 并延长交 $BC$ 于 $D$ 点，则 $D$ 分 $BC$ 的比$$\lambda =\dfrac{AB}{AC}=\dfrac 42 =2,$$故$$\overrightarrow{AD}=\dfrac 13 \overrightarrow{AB}+\dfrac 23 \overrightarrow{AC}.$$又 $BC=3$，故$$BD=2 , DC=1.$$在 $\triangle{ABD}$ 中，$I$ 分 $AD$ 的比$$\lambda'=\dfrac{AB}{BD}=\dfrac 42 =2,$$即$$\overrightarrow{AI}=\dfrac 23 \overrightarrow{AD}=\dfrac 29 \overrightarrow{AB}+\dfrac 49 \overrightarrow{AC},$$所以 $x+y=\dfrac 23$．
题目
答案
解析
备注
