已知正三棱锥 $S-ABC$，底面是边长为 $1$ 的正三角形，侧棱长为 $2$．若过直线 $AB$ 的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
设截面与棱 $SC$ 交于 $D$ 点，由已知条件，点 $D$ 为棱 $SC$ 的中点．
取 $AB$ 的中点 $E$，连接 $EC,DE,SE$，则 $\angle DEC$ 为截面与底面所成二面角的平面角，设为 $\theta$．
在 $\triangle SEC$ 中，$$SE=\dfrac{\sqrt{15}}{2} , EC=\dfrac{\sqrt 3}{2} , SC=2,$$所以中线 $DE=\dfrac{\sqrt 5}{2}$．
在 $\triangle DEC$ 应用余弦定理得 $\cos\theta =\dfrac{2\sqrt{15}}{15}$．
取 $AB$ 的中点 $E$，连接 $EC,DE,SE$，则 $\angle DEC$ 为截面与底面所成二面角的平面角，设为 $\theta$．
在 $\triangle SEC$ 中，$$SE=\dfrac{\sqrt{15}}{2} , EC=\dfrac{\sqrt 3}{2} , SC=2,$$所以中线 $DE=\dfrac{\sqrt 5}{2}$．
在 $\triangle DEC$ 应用余弦定理得 $\cos\theta =\dfrac{2\sqrt{15}}{15}$．
题目
答案
解析
备注
