已知向量 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ 垂直，$\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|=24$．若 $t\in[0,1]$，则 $\left|t\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO}\right|+\left|\dfrac{5}{12}\overrightarrow{BO}-(1-t)\overrightarrow{BA}\right|$ 的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
用数形结合方法求解，作正方形 $OACB$，连对角线 $AB$，则$$t\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD} , \dfrac{5}{12}\overrightarrow{BO}-(1-t)\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DE} , OD=DC,$$其中 $D$ 为对角线 $AB$ 上一点，$E$ 为 $OB$ 边上一点，且 $EB=10$．
因此\[\left|t\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO}\right|+\left|\dfrac{5}{12}\overrightarrow{BO}+(1-t)\overrightarrow{BA}\right|=ED+DC,\]有几何意义可知 $ED+DC$ 的最小值为 $EC$ 的值，即等于 $26$．
因此\[\left|t\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO}\right|+\left|\dfrac{5}{12}\overrightarrow{BO}+(1-t)\overrightarrow{BA}\right|=ED+DC,\]有几何意义可知 $ED+DC$ 的最小值为 $EC$ 的值，即等于 $26$．
题目
答案
解析
备注
