设集合 $M=\left\{(x,y) \bigg | \dfrac{1}{\sqrt x}-\dfrac{1}{\sqrt y}=\dfrac{1}{\sqrt{45}},x,y\in\mathbb N^{*}\right\}$，则集合 $M$ 中的元素个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
由于 $\dfrac{1}{\sqrt x}-\dfrac{1}{\sqrt y}=\dfrac{1}{\sqrt {45}}$，即\[\dfrac{1}{\sqrt {5x}}-\dfrac{1}{\sqrt{5y}}=\dfrac{1}{15},\]所以\[\dfrac{1}{5x}=\dfrac{1}{225}+\dfrac{1}{5y}+\dfrac{2}{15\sqrt {5y}},\]这样 $\sqrt{5y}\in\mathbb Q$．
同理，$\sqrt{5x}\in\mathbb Q$，所以可设\[x=5a^{2},y=5b^{2},a,b\in\mathbb N^{*},\]因此原式 $\dfrac{1}{\sqrt x}-\dfrac{1}{\sqrt y}=\dfrac{1}{\sqrt{45}}$ 转化为\[\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{3},\]所以 $(a,b)=(2,6)$．又因为 $(a,b)$ 与 $(x,y)$ 一一对应，所以集合 $M$ 中的元素个数为 $1$．
同理，$\sqrt{5x}\in\mathbb Q$，所以可设\[x=5a^{2},y=5b^{2},a,b\in\mathbb N^{*},\]因此原式 $\dfrac{1}{\sqrt x}-\dfrac{1}{\sqrt y}=\dfrac{1}{\sqrt{45}}$ 转化为\[\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{3},\]所以 $(a,b)=(2,6)$．又因为 $(a,b)$ 与 $(x,y)$ 一一对应，所以集合 $M$ 中的元素个数为 $1$．
题目
答案
解析
备注
