已知 $a,b,c$ 均为大于 $0$ 的实数，设命题 $P$：以 $a,b,c$ 为长度的线段可以构成三角形的三边，命题 $Q$：$a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$，则 $P$ 是 $Q$ 的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
充分性：
若 $P$ 成立，则 $b+c>a$，故$$a(b+c)>a^2,$$即$$ab+ac>a^2.$$同理$$\begin{split}ba+bc>b^2,\\ca+cb>c^2,\end{split}$$所以$$a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca),$$即 $Q$ 成立．
必要性：
若 $Q$ 成立，取$$b=c=1 , a=2,$$这时以 $a,b,c$ 为长度的线段不能构成三角形的三边，即 $P$ 不成立．
综上所述，$P$ 是 $Q$ 的充分但不必要条件．
若 $P$ 成立，则 $b+c>a$，故$$a(b+c)>a^2,$$即$$ab+ac>a^2.$$同理$$\begin{split}ba+bc>b^2,\\ca+cb>c^2,\end{split}$$所以$$a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca),$$即 $Q$ 成立．
必要性：
若 $Q$ 成立，取$$b=c=1 , a=2,$$这时以 $a,b,c$ 为长度的线段不能构成三角形的三边，即 $P$ 不成立．
综上所述，$P$ 是 $Q$ 的充分但不必要条件．
题目
答案
解析
备注
