对所有满足 $1\leqslant n\leqslant m\leqslant5$ 的 $m,n$，极坐标方程 $\rho=\dfrac{1}{1-\mathrm{C}_m^n\cos\theta}$ 表示的不同双曲线条数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
当 $m=n$ 时，$\rho=\dfrac{1}{1-\mathrm{C}_m^n\cos\theta}$ 表示的是抛物线．
当 $m\ne n$ 时，令 $e=\mathrm{C}_m^n>1$，注意到$$\mathrm{C}_3^1=\mathrm{C}_3^2 , \mathrm{C}_4^1=\mathrm{C}_4^3 , \mathrm{C}_5^2=\mathrm{C}_5^3 , \mathrm{C}_5^1=\mathrm{C}_5^4,$$所以离心率 $e>1$ 的取值共有 $10-4=6$ 个不同的值．
当 $m\ne n$ 时，令 $e=\mathrm{C}_m^n>1$，注意到$$\mathrm{C}_3^1=\mathrm{C}_3^2 , \mathrm{C}_4^1=\mathrm{C}_4^3 , \mathrm{C}_5^2=\mathrm{C}_5^3 , \mathrm{C}_5^1=\mathrm{C}_5^4,$$所以离心率 $e>1$ 的取值共有 $10-4=6$ 个不同的值．
题目
答案
解析
备注
