下面的命题中，正确的个数为 \((\qquad)\)
① 将函数 $y=4\sin{2x}$ 图象向左平移 $\dfrac{\pi}{3}$ 个单位得到函数 $y=4\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的图象；
② 函数 $y=4\cos(2x+\varphi)$ 图象关于点 $\left(\dfrac{\pi}{6},0\right)$ 对称的充要条件是 $\varphi =k\pi+\dfrac{\pi}{6}$（$k\in \mathbb Z$）；
③ 函数 $y=\dfrac{4\tan x}{1-\tan^2 x}$ 的周期为 $\dfrac{\pi}{2}$；
④ 化简 $\sqrt{1+\sin 2}-\sqrt{1-\sin 2}$ 等于 $2\sin 1$．
① 将函数 $y=4\sin{2x}$ 图象向左平移 $\dfrac{\pi}{3}$ 个单位得到函数 $y=4\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的图象；
② 函数 $y=4\cos(2x+\varphi)$ 图象关于点 $\left(\dfrac{\pi}{6},0\right)$ 对称的充要条件是 $\varphi =k\pi+\dfrac{\pi}{6}$（$k\in \mathbb Z$）；
③ 函数 $y=\dfrac{4\tan x}{1-\tan^2 x}$ 的周期为 $\dfrac{\pi}{2}$；
④ 化简 $\sqrt{1+\sin 2}-\sqrt{1-\sin 2}$ 等于 $2\sin 1$．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
① 将函数 $y=4\sin{2x}$ 图象向左平移 $\dfrac{\pi}{3}$ 个单位，应该得到函数 $y=4\sin\left(2x+\dfrac{2\pi}{3}\right)$ 的图象，错误．
② 若函数 $y=4\cos(2x+\varphi)$ 图象关于点 $\left(\dfrac{\pi}{6},0\right)$ 对称，则$$\cos(2x+\varphi)+\cos\left[2\left(\dfrac {\pi}{3}-x\right)+\varphi \right]=0,$$所以$$(2k+1)\pi-(2x+\varphi)=2\left(\dfrac {\pi}{3}-x\right)+\varphi ,k\in \mathbb Z,$$解得$$\varphi=\left(k+\dfrac 12\right)\pi-\dfrac {\pi}{3}, k\in \mathbb Z,$$所以 ② 错误．
③ 化简得 $y=2\tan 2x$，所以周期为 $\dfrac {\pi}{2}$，正确．
④ 因为 $\dfrac {\pi}{4}<1< \dfrac {\pi}{2}$，所以 $\sin 1<\cos 1$，故$$\begin{split}y&=\sqrt {1+\sin 2}-\sqrt {1-\sin 2}\\&=|\sin 1+\cos 1|+|\sin 1-\cos 1|\\&=2\cos 1,\end{split}$$错误．
② 若函数 $y=4\cos(2x+\varphi)$ 图象关于点 $\left(\dfrac{\pi}{6},0\right)$ 对称，则$$\cos(2x+\varphi)+\cos\left[2\left(\dfrac {\pi}{3}-x\right)+\varphi \right]=0,$$所以$$(2k+1)\pi-(2x+\varphi)=2\left(\dfrac {\pi}{3}-x\right)+\varphi ,k\in \mathbb Z,$$解得$$\varphi=\left(k+\dfrac 12\right)\pi-\dfrac {\pi}{3}, k\in \mathbb Z,$$所以 ② 错误．
③ 化简得 $y=2\tan 2x$，所以周期为 $\dfrac {\pi}{2}$，正确．
④ 因为 $\dfrac {\pi}{4}<1< \dfrac {\pi}{2}$，所以 $\sin 1<\cos 1$，故$$\begin{split}y&=\sqrt {1+\sin 2}-\sqrt {1-\sin 2}\\&=|\sin 1+\cos 1|+|\sin 1-\cos 1|\\&=2\cos 1,\end{split}$$错误．
题目
答案
解析
备注
