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正四棱锥 $S-ABCD$ 中，侧棱与底面所成的角为 $\alpha$，侧面与底面所成的角为 $\beta$，侧面等腰三角形的底角为 $\gamma$，相邻两侧面所成的二面角为 $\theta$，则 $\alpha ,\beta,\gamma,\theta$ 的大小关系是 \((\qquad)\)
A: $\alpha <\beta<\gamma <\theta$
B: $\alpha<\beta <\theta<\gamma$
C: $\theta<\alpha <\gamma<\beta$
D: $\alpha<\gamma<\beta<\theta$
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    空间的角
    >
    线面角
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    空间的角
    >
    二面角
【答案】
A
【解析】
不妨设正四棱锥 $S-ABCD$ 的底面棱长为 $2a$，高为 $h$，则$$\tan \alpha=\dfrac {h}{\sqrt 2a} , \tan \beta=\dfrac ha , \tan \gamma=\dfrac {\sqrt {a^2+h^2}}{a},$$所以$$\alpha<\beta<\gamma<\dfrac {\pi}{2}.$$在两相邻侧面，从侧面等腰三角形顶点向公共棱做垂线，得到 $\theta$ 的平面角，所以$$\cos \theta=\dfrac {\dfrac {2a^2(a^2+h^2)}{2a^2+h^2}-8a^2}{\dfrac {2a^2(a^2+h^2)}{2a^2+h^2}}=1-\dfrac {4(2a^2+h^2)}{a^2+h^2}<0,$$故 $\theta>\dfrac {\pi}{2}$，因此$$\alpha<\beta<\gamma<\theta.$$
题目 答案 解析 备注
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