某电影院第一排共有 $9$ 个座位，现有 $3$ 名观众就座，若他们每两个人不能相邻且要求每人左右至多只有两个空位，那么不同的坐法种数共有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
问题等价于，先将 $6$ 个座位分组，每组有 $1$ 或 $2$ 个座位，组数最少为 $3$，最多为 $4$，然后将三个观众作为“隔板”将每组座位隔开．
当分 $3$ 组时，可能的方式为 $(2,2,2)$，所以做法种数为$${\rm A}_3^3\cdot 1\cdot 2=12.$$当分 $4$ 组时，可能的方式为$$(1,1,2,2), (1,2,1,2), (1,2,2,1), (2,1,1,2), (2,1,2,1), (2,2,1,1),$$所以坐法种数为$${\rm A}_3^3\cdot 6=36.$$因此不同的坐法总数为 $12+36=48$．
当分 $3$ 组时，可能的方式为 $(2,2,2)$，所以做法种数为$${\rm A}_3^3\cdot 1\cdot 2=12.$$当分 $4$ 组时，可能的方式为$$(1,1,2,2), (1,2,1,2), (1,2,2,1), (2,1,1,2), (2,1,2,1), (2,2,1,1),$$所以坐法种数为$${\rm A}_3^3\cdot 6=36.$$因此不同的坐法总数为 $12+36=48$．
题目
答案
解析
备注
