令 $u=2+\sqrt 7,v=2-\sqrt 7$，则$$u+v=4 , uv=-3,$$可知 $u,v$ 是方程 $x^{2}=4x+3$ 的两根，则\[u^{2}=4u+3, v^{2}=4v+3,\]所以当 $n\geqslant 2$ 时，\[u^{n}=4u^{n-1}+3u^{n-2}, v^{n}=4v^{n-1}+3v^{n-2}.\]令 $S_{n}=u^{n}+v^{n}$，则当 $n\geqslant 2$ 时，$$\begin{split}&S_{n}=4S_{n-1}+3S_{n-2},\\&S_{6}=2 , S_{1}=4,\end{split}$$故所有 $S_{n}$ 为偶数，\[\begin{split}&(\sqrt 7+2)^{2n+1}-(\sqrt 7-2)^{2n+1}=u^{2n+1}+v^{2n+1}=S_{2n+1}=2k,\\&(\sqrt 7+2)^{2n+1}=2k+(\sqrt 7-2)^{2n+1}.\end{split}\]因为$$0<(\sqrt 7-2)^{2n+1}<1,$$所以 $(\sqrt 7-2)^{2n+1}$ 为 $a_{n}$ 的小数部分，即\[b_{n}=(\sqrt 7-2)^{2n+1},\]故\[a_{n}b_{n}=(\sqrt 7+2)^{2n+1}\cdot (\sqrt 7-2)^{2n+1}=3^{2n+1}\]为奇数．