三棱锥 $A-BCD$ 的顶点 $A$ 在底面 $BCD$ 内的射影为点 $O$，且点 $O$ 到三个侧面的距离均相等，则点 $O$ 一定是 $\triangle BCD$ 的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 $OE\perp \text{平面}ABC$ 于点 $E$，$OF\perp \text{平面}ACD$ 于点 $F$．
延长 $AE,AF$ 分别交 $BC,CD$ 于点 $G,H$，连接 $OG,OH$．
在 ${\rm {Rt}}\triangle OEA$ 和 ${\rm {Rt}}\triangle OFA$ 中，$$OE=OF , OA=OA,$$故\[{\rm {Rt}}\triangle OEA\cong {\rm {Rt}}\triangle OFA,\]可知 $\angle OAE=\angle OAF$，于是\[{\rm {Rt}}\triangle OAG\cong {\rm{Rt}}\triangle OAH, OG=OH.\]又因为$$OE\perp BC , OF\perp CD , AO\perp \text{平面} BCD,$$因此\[BC\perp \text{平面}AOG, CD\perp \text{平面}AOH,\]则$$BC\perp OG,CD\perp OH,$$从而 $O$ 是 $\triangle BCD$ 的内心．
延长 $AE,AF$ 分别交 $BC,CD$ 于点 $G,H$，连接 $OG,OH$．
在 ${\rm {Rt}}\triangle OEA$ 和 ${\rm {Rt}}\triangle OFA$ 中，$$OE=OF , OA=OA,$$故\[{\rm {Rt}}\triangle OEA\cong {\rm {Rt}}\triangle OFA,\]可知 $\angle OAE=\angle OAF$，于是\[{\rm {Rt}}\triangle OAG\cong {\rm{Rt}}\triangle OAH, OG=OH.\]又因为$$OE\perp BC , OF\perp CD , AO\perp \text{平面} BCD,$$因此\[BC\perp \text{平面}AOG, CD\perp \text{平面}AOH,\]则$$BC\perp OG,CD\perp OH,$$从而 $O$ 是 $\triangle BCD$ 的内心．
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备注
