如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$\text{侧面}PAC \perp\text{ 底面}ABC$，底面 $ABC$ 是边长为 $1$ 的正三角形，$PA=PC$，$\angle APC=90^{\circ}$，$M$ 是棱 $BC$ 的中点．则 $AB$ 与 $PM$ 间的距离为 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
如图作 $PO\perp AC$ 于点 $O$，则 $O$ 是 $AC$ 的中点．
连结 $OM$．
因为 $M$ 是 $BC$ 的中点，所以 $OM \parallel AB$．
过点 $M$ 作 $MN\perp AB$ 于点 $N$．
因为 $OM \parallel AB$，所以 $MN\perp OM$．
又$$\text{侧面}PAC \perp \text{底面}ABC , PO \perp AC,$$所以$$PO \perp \text{ 底面}ABC , PO \perp MN,$$从而$$MN \perp \text{ 平面}POM , MN \perp PM,$$故 $MN$ 是 $AB$ 与 $PM$ 的公垂线段．在 $\mathrm {Rt}\triangle MNB$ 中，$BM=\dfrac 12$，$\angle B=60^{\circ}$，故$$MN=BM \cdot \sin 60^{\circ}=\dfrac {\sqrt 3}{4}.$$
连结 $OM$．
因为 $M$ 是 $BC$ 的中点，所以 $OM \parallel AB$．过点 $M$ 作 $MN\perp AB$ 于点 $N$．
因为 $OM \parallel AB$，所以 $MN\perp OM$．
又$$\text{侧面}PAC \perp \text{底面}ABC , PO \perp AC,$$所以$$PO \perp \text{ 底面}ABC , PO \perp MN,$$从而$$MN \perp \text{ 平面}POM , MN \perp PM,$$故 $MN$ 是 $AB$ 与 $PM$ 的公垂线段．在 $\mathrm {Rt}\triangle MNB$ 中，$BM=\dfrac 12$，$\angle B=60^{\circ}$，故$$MN=BM \cdot \sin 60^{\circ}=\dfrac {\sqrt 3}{4}.$$
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备注
