设 $f(x)=\cos \dfrac{x}{5}$，$a=f\left(\log_{\rm e}{\dfrac 1{\pi}}\right)$，$b=f\left(\log_{\pi}{\dfrac 1{\rm e}}\right)$，$c=f\left(\log_{\frac 1{\rm e}}{\dfrac 1{\pi^2}}\right)$，则下述关系式正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
函数 $f(x)=\cos \dfrac x5$ 为偶函数．
在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上，$f(x)=\cos x$ 为减函数，而$$\log_{\rm e }\dfrac 1{\pi}=-\log_{\rm e}\pi , \log_{\pi}\dfrac 1{\rm e}=-\dfrac 1{\log_{\rm e}\pi} , \log_{\frac 1{\rm e}}{\dfrac 1{\pi^2}}=2\log_{\rm e}\pi,$$因此$$0<\dfrac 1{5\log_{\rm e}\pi}<\dfrac{\log_{\rm e}\pi}{5}<\dfrac{2\log_{\rm e}\pi}{5}<\dfrac{\pi}{4},$$所以 $b>a>c$．
在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上，$f(x)=\cos x$ 为减函数，而$$\log_{\rm e }\dfrac 1{\pi}=-\log_{\rm e}\pi , \log_{\pi}\dfrac 1{\rm e}=-\dfrac 1{\log_{\rm e}\pi} , \log_{\frac 1{\rm e}}{\dfrac 1{\pi^2}}=2\log_{\rm e}\pi,$$因此$$0<\dfrac 1{5\log_{\rm e}\pi}<\dfrac{\log_{\rm e}\pi}{5}<\dfrac{2\log_{\rm e}\pi}{5}<\dfrac{\pi}{4},$$所以 $b>a>c$．
题目
答案
解析
备注
