如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$\text{侧面}PAC \perp\text{ 底面}ABC$，底面 $ABC$ 是边长为 $1$ 的正三角形，$PA=PC$，$\angle APC=90^{\circ}$，$M$ 是棱 $BC$ 的中点．则 $AB$ 与 $PM$ 间的距离为 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
如图建立空间直角坐标系，则 $A\left(0,-\dfrac 12,0\right)$，$B\left( \dfrac {\sqrt 3}{2},0,0\right)$，$P\left(0,0,\dfrac 12 \right)$，$M\left( \dfrac {\sqrt 3}{4},\dfrac 14,0\right)$，所以$$\overrightarrow {AB}=\left( \dfrac {\sqrt 3}{2},\dfrac 12,0 \right) , \overrightarrow {PM}=\left( \dfrac {\sqrt 3}{4},\dfrac 14, -\dfrac 12 \right) , \overrightarrow {AP}=\left(0, \dfrac {1}{2},\dfrac 12 \right).$$
设 $EF$ 是 $AB$ 和 $PM$ 的公垂线段，设点 $E$ 在 $AB$ 上，点 $F$ 在 $PM$ 上，且$$\begin{split}\overrightarrow {AE}&=\lambda\overrightarrow {AB}=\left( \dfrac {\sqrt 3}{2}\lambda,\dfrac 12\lambda,0 \right),\\\overrightarrow {PF}&=\mu\overrightarrow {PM}=\left( \dfrac {\sqrt 3}{4}\mu,\dfrac 14\mu,-\dfrac 12 \mu \right),\end{split}$$故\[\begin{split}\overrightarrow {EF}&=\overrightarrow {EA} +\overrightarrow {AP } +\overrightarrow {PF}\\&=\left( -\dfrac {\sqrt 3}{2}\lambda +\dfrac {\sqrt 3}{4}\mu,-\dfrac 12\lambda+\dfrac 12+\dfrac 14\mu,\dfrac 12-\dfrac 12 \mu \right).\end{split}\]因为 $EF \perp AB$，所以 $\overrightarrow {EF }\cdot \overrightarrow {AB }=0$，即$$-\dfrac {3}{4}\lambda+\dfrac 38\mu -\dfrac 14 \lambda+\dfrac 14+\dfrac 18\mu=0,$$化简得$$4\lambda -2\mu -1=0.\quad \cdots\cdots \text{ ① }$$又 $EF \perp PM$，所以 $\overrightarrow {EF }\cdot \overrightarrow {PM }=0$，即$$-\dfrac {3}{8}\lambda+\dfrac {3}{16}\mu -\dfrac 18 \lambda+\dfrac 18+\dfrac {1}{16}\mu-\dfrac 14+\dfrac 14\mu=0,$$化简得$$4\lambda -4\mu +1=0.\quad \cdots\cdots \text{ ② }$$由 ①，② 式解得 $\lambda=\dfrac 34$，$\mu=1$，故 $\overrightarrow {EF}=\left( -\dfrac {\sqrt 3}{8},\dfrac 38, 0 \right)$，所以$$\left|\overrightarrow {EF}\right|=\sqrt{\left(- \dfrac {\sqrt 3}{8}\right)^2+\left(\dfrac 38\right)^2}=\dfrac {\sqrt 3}{4},$$即 $AB$ 与 $PM$ 间距离为 $\dfrac {\sqrt 3}{4}$．
设 $EF$ 是 $AB$ 和 $PM$ 的公垂线段，设点 $E$ 在 $AB$ 上，点 $F$ 在 $PM$ 上，且$$\begin{split}\overrightarrow {AE}&=\lambda\overrightarrow {AB}=\left( \dfrac {\sqrt 3}{2}\lambda,\dfrac 12\lambda,0 \right),\\\overrightarrow {PF}&=\mu\overrightarrow {PM}=\left( \dfrac {\sqrt 3}{4}\mu,\dfrac 14\mu,-\dfrac 12 \mu \right),\end{split}$$故\[\begin{split}\overrightarrow {EF}&=\overrightarrow {EA} +\overrightarrow {AP } +\overrightarrow {PF}\\&=\left( -\dfrac {\sqrt 3}{2}\lambda +\dfrac {\sqrt 3}{4}\mu,-\dfrac 12\lambda+\dfrac 12+\dfrac 14\mu,\dfrac 12-\dfrac 12 \mu \right).\end{split}\]因为 $EF \perp AB$，所以 $\overrightarrow {EF }\cdot \overrightarrow {AB }=0$，即$$-\dfrac {3}{4}\lambda+\dfrac 38\mu -\dfrac 14 \lambda+\dfrac 14+\dfrac 18\mu=0,$$化简得$$4\lambda -2\mu -1=0.\quad \cdots\cdots \text{ ① }$$又 $EF \perp PM$，所以 $\overrightarrow {EF }\cdot \overrightarrow {PM }=0$，即$$-\dfrac {3}{8}\lambda+\dfrac {3}{16}\mu -\dfrac 18 \lambda+\dfrac 18+\dfrac {1}{16}\mu-\dfrac 14+\dfrac 14\mu=0,$$化简得$$4\lambda -4\mu +1=0.\quad \cdots\cdots \text{ ② }$$由 ①，② 式解得 $\lambda=\dfrac 34$，$\mu=1$，故 $\overrightarrow {EF}=\left( -\dfrac {\sqrt 3}{8},\dfrac 38, 0 \right)$，所以$$\left|\overrightarrow {EF}\right|=\sqrt{\left(- \dfrac {\sqrt 3}{8}\right)^2+\left(\dfrac 38\right)^2}=\dfrac {\sqrt 3}{4},$$即 $AB$ 与 $PM$ 间距离为 $\dfrac {\sqrt 3}{4}$．
题目
答案
解析
备注
