设函数 $f(x)=x^3+3x^2+6x+14$，且 $f(a)=1,f(b)=19$，则 $a+b=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛湖南省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
函数 $f(x)$ 可变形为$$f(x)=(x+1)^3+3(x+1)+10.$$令 $g(y)=y^3+3y$，则 $g(y)$ 为奇函数且单调递增，而\[\begin{split}&f(a)=(a+1)^3+3(a+1)+10=1,\\&f(b)=(b+1)^3+3(b+1)+10=19,\end{split}\]所以$$g(a+1)=-9 , g(b+1)=9 , g(-b-1)=-9,$$从而 $g(a+1)=g(-b-1)$，即$$a+1=-b-1,$$故 $a+b=-2$．
题目
答案
解析
备注
