设数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=6,a_{n+1}=\left[\dfrac 5 4 a_n+\dfrac 3 4\sqrt{a_n^2-2}\right],n \in \mathbb N^*$，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，$S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{2016}$ 的个位数字是 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
由 $a_1=6,a_2=11,a_3=21$，猜测$$a_n=5\cdot2^{n-1}+1(n\in \mathbb N^*),$$用数学归纳法易证．
于是 $n \geqslant 2$ 时，$a_n \equiv 1({\rm mod} 10)$，故\[S_{2016} \equiv 6+2015({\rm mod} 10)\equiv 1({\rm mod} 10).\]
于是 $n \geqslant 2$ 时，$a_n \equiv 1({\rm mod} 10)$，故\[S_{2016} \equiv 6+2015({\rm mod} 10)\equiv 1({\rm mod} 10).\]
题目
答案
解析
备注
