设这三个正方体的棱长分别为 $a,b,c$，则有$$6(a^2+b^2+c^2)=564,$$即 $a^2+b^2+c^2=94$，不妨设$$1\leqslant a\leqslant b\leqslant c<10,$$从而$$3c^2\geqslant a^2+b^2+c^2=94,$$即 $c^2>31$，故 $6\leqslant c<10$，因此 $c$ 只能取 $9,8,7,6$．
若 $c=9$，则$$a^2+b^2=94-9^2=13,$$易知 $a=2,b=3$，得一组解 $(a,b,c)=(2,3,9)$；
若 $c=8$，则$$a^2+b62=94-64=30 , b\leqslant5,$$但是 $2b^2\geqslant30$，即 $b\geqslant4$，从而 $b=4$ 或 $5$，若 $b=5$，则 $a^2=5$ 无解；若 $b=4$，则 $a^2=14$，无解，因此 $c=8$ 时无解；
若 $c=7$，则$$a^2+b^2=94-49=45,$$有唯一解 $a=3,b=6$．
若 $c=6$，则$$a^2+b^2=94-36=58,$$此时 $2b^2\geqslant58$，即 $b^2\geqslant29$，故 $b\geqslant6$，但 $b\leqslant c=6$，所以 $b=6$，此时 $a^2=58-36=22$ 无解．
综上，共有两组解对应的体积为 $764$ 或 $586$．